合同式 東大受験 – 東大合格への第一歩

整数問題において、合同式は強力な武器です。

 

特に、医学部や東大などの難関大学の数学入試では、この合同式を駆使することで複雑な問題がスムーズに解決することが多いです。

 

本記事では、合同式の基本から、難関大学入試で出題されるような応用問題の解き方までを、わかりやすく解説します。

 

この記事を読むことで、合同式の理解が深まり、難関大学入試に向けた対策がより具体的になるでしょう。

 

これを実践に落とし込んで成績向上を狙いたい方々、いらっしゃいますよね？

 

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合同式 東大受験 – 東大合格への第一歩

「合同式 東大受験」をテーマに、東京大学合格を目指すあなたに必要な合同式の基礎から応用までをわかりやすく解説します。

 

この記事を通じて、合同式の重要性とその効果的な学習方法を理解し、東大受験への自信を深めましょう。

合同式の基本概念

合同式の基礎をしっかりと理解することが、東大受験の成功への鍵です。

 

このセクションでは、合同式の定義からその基本的な性質までを詳しく解説します。

 

 

合同式とは何か

合同式の基本的な定義とその数学的意味を解説します。

 

合同式がどのように数学的な問題解決に役立つのかを理解することが重要です。

 

合同式って「図形の合同」とは全く違うものなのですよね…。

a,bを整数とし、kを正の整数とします。

a−bがkの倍数のとき、

a≡b(mod k)と表し、これを合同式といいます。

例えば…。

• 10≡5(mod5)
• 11≡3(mod4)
• 4≡0(mod2)
• 14≡−1(mod3)
• 8≡−2(mod10)

 

 

合同式の基本性質

合同式を使う上で知っておくべき基本的な性質について解説します。

 

これらの性質は、合同式を使った問題解決の基礎となります。

• a≡b(mod m),c≡d(mod m) のとき、次のことが成り立つ。
• a+c≡b+d(mod m)
• a−c≡b−d(mod m)
• ac≡bd(mod m)
• an≡bn(mod m)（nは自然数）

 

つまり

※方程式と同様に、加法・減法・乗法が可能。

※両辺を何乗しても合同が成り立つ。

ということですね。

合同式の問題

合同式を使った具体的な応用問題を取り上げ、その解法をステップバイステップで解説します。

 

これらの問題は、東大受験において頻出するため、しっかりと理解しておくことが重要です。

 

典型的な合同式の問題

東大受験でよく見られる典型的な合同式の問題とその解法を解説します。

 

これらの問題を通じて、合同式の応用力を高めましょう。

 

1. 50の5乗を7で割った余りを求めよ．
2. 7の50乗を25で割った余りを求めよ．
3. 2の80乗を7で割った余りを求めよ．

各自でよく考えてみましょうね。

 

解答

(1)

$50$ $(\mathrm{mod}\mathrm{7)}$より、両辺5乗する。

${\mathrm{50の}}^{\mathrm{5乗}}\equiv {\mathrm{1の}}^{\mathrm{5乗}}\equiv 1$$(\mathrm{mod}7$)よって余り

※ 余りがか$-1$になるような累乗を探す。

 

(2) 

${\mathrm{7の}}^{\mathrm{50乗}}={\mathrm{49の}}^{\mathrm{25乗}}\equiv (-1{)の25乗}^{}=-1\equiv 24$)よって余り

※ 余りがか$-1$になるような累乗を探す。

 

(3) 

${\mathrm{2の}}^{\mathrm{80乗}}={\mathrm{2の(}}^{3\times 26+\mathrm{2)乗}}=4\times {\mathrm{8の}}^{\mathrm{26乗}}\equiv \mathrm{4\times }{\mathrm{1の26乗\equiv }}^{}4$ $($)よって余り$4$

※ $\mathrm{8\equiv }$ $($)なので、合同式としてはとは同じだくらいの感覚でOKです。

を取り入れることで、効率的な学習が可能になります。

 

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