積と和が3の倍数となるカードの確率

確率問題 慶應義塾大学 数学過去問

1から10までの番号が書かれた10枚のカードがある。ここから3枚を選ぶとする。

(1)積が3の倍数になる確率を求めよ。

(2)和が3の倍数になる確率を求めよ。

さぁ「はじめの一歩」はどうしますか?

 

はじめの一歩:樹形図

「場合の数」「確率」の「はじめの一歩」は、ともかく「樹形図」です。

今回の場合、まずは3がある樹形図から…

3-1-2
3-1-4
   -5
   -6
   -7
   -8
   -9
3-1-10

まだ終わらないねぇ
3-2-◯
   -◯
   …
3-4-◯
   -◯
   …

があるからねぇ…。

 

次に6がある樹形図は…

6-1-2
6-1-4
6-1……

このあたりで「大変だこりゃ」と気づいて欲しいんですね。

ただ単に並べていくだけでは危険ですし、時間もかかる。

そこで次に「考えて樹形図を作る」わけです。

 

3の倍数が3個のとき、2個のとき、1個のとき

こんなふうに考えてみます。

  1. 3の倍数が3個のとき
    3,6,9の1通り
  2. 3の倍数が2個のとき
    3,6,9の中から2個を選ぶ3通り×3,6,9の3個を除く7個から1個を選ぶ7通り=21通り
  3. 3の倍数が1個のとき
    3,6,9の中から1個を選ぶ3通り×3,6,9の3個を除く7個から2個を選ぶ21通り=63通り

以上より、1+21+63=85通り

全事象は103=120通りだから

85/120=17/24

 

余事象を用いた別解

3,6,9の3個を除く7個から3個選ぶのは、73

全事象は103

よって求める確率は

173/10317/24

…とまぁ、これが最も簡単な求め方、なんですね。

 

最初の樹形図の「実験」が大事

最初に樹形図を書いてみる…これが最重要です。

そこから論理の対等性・規則性等々を見つけ出すのですね。

数学でも、とくに確率だは「やってみる」ということが最も重要になるのです。

 

3つの数の和が3の倍数とは?

これも当初は樹形図を書いてみるんです。

するととてつもない作業になる予感がします

そこで、樹形図無しで考えるのはどうしたら良いのか?

 

A:出てきた数が 3,6,9

これ、文句なしの「和が3の倍数」ですね。

そこでふと考える…3で割って余りがゼロですね。

つまり「余り」を3回足してもゼロのまま。

これ、1通りですよね。

 

B:出てきた数が 2,5,8

今回も「和が3の倍数」になります。

「余りが2」だから、その余りが3つ足されて「6」になる。

だからこれも3の倍数。

これも1通りになりますね。

 

C:出てきた数が 1,4,7,10 から3枚

今回も「和が3の倍数」になります。

「余りが1」だから、その余りが3つ足されて「3」になる。

だからこれも3の倍数。

これは43だから4通りになりますね。

 

D:A,B,C グループから1枚ずつ

「余りが0」「余りが2」「余りが1」それらを足すと「6」になる。

従って「3の倍数」になりますね。

その場合の数は「3✕3✕4」=36通りです。

========

以上A~Dより1+1+4+36=42通り。

全事象は103=120通りだから

42/120=7/20

 

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