東大王になるために。期末テストで好成績をGetしよう。東大数学過去問。別解シリーズ①

東大の数学入試問題です。

上の動画を見ながら、読んでいくと理解が深まります。

一辺の長さが100mである正方形の広場があって
その正方形の頂点の角に直立する、高さ60ｍの棒がある。
その棒は地上10ｍから60ｍまでの部分
つまり50ｍだけが赤く塗られている。
その両端を上からA,Bとする。
ここまでを図で考えてみましょう。

こんな風に正方形の公園があります。
一辺が100ｍ…そしてこの公園の1つの角に直立する
高さ60ｍの棒があります。

じゃあそれを真横から見た図を、すなわち、この棒とこの公園の縁を見た図、
それを見てみましょう。

こんな感じです。…で、10ｍから60mまで
この50m分の長さが赤く塗られている。
そして上からA,Bとするのですね。

さぁ、今、公園内を動き回る地面上の点Pが…つまり地面上に点Pがあって、
ぐるぐる動き回るわけです。
∠APB＝θとして、θ≧45°を保ちつつ、点Pが公園内を動く時、
点Pの可動領域面積を求めよ、とあります。

具体的に申しますと、点Pが例えばどこかの辺にPがあるとします。
この∠APBを考えます。そしたらそれが、45°以上になるようにPが動く。
その動くことができる面積は限られいて、その面積を求めなさい。

さて直感的にどうなんだろうね。
この角をOとする。
そして点PがOにめちゃめちゃ近づいたとする。
ですからPがOに近づきすぎるとθはゼロになる。

そしてどんどん離れていくと、直感的に、だんだんθが大きくなって、ある時点で45°になる。
そこからしばらくは45°より大きくなります。

で、直感的に考えるとPが思いっきりOから離れると、絶対にθは小さくなる。
ですのであるところにまた45°が現れる。
直感的にそうだろうなぁ…と。

そうすると、ちょうどここが45°以上のところになる。
ま、ここに2つのPが現れる。
で、この部分をこっちで表すとこの辺になる。
ということは、この4分の1ドーナツが求める面積だ。
どうやってこの点Cと点Dとがどの位置に来るかということさえわかれば、
面積は簡単にわかるいうことになります。
それを考えてみましょう。

はい、それでは真横から見た図で考える。
で、∠APB＝45°
その後中学生的に考えるやり方で考えると補助線を使います。
こんな風にですね。補助線を引きます。
∠APB＝45°だからOP＝Xとしましょう。
AP上にですね∠QBP＝45°となるように点Qをとります
で、さらにQR⊥ABとなり点RをAB上にとります。
すると∠BQPが45°になりますから…
直角二等辺三角形になりますね。

次に∠OPBを緑にすると、この赤い角と緑の角を足すと90°ですよね。
∠OPB＝90°－∠OBPになりますよ。
赤＋緑が90°。ということですよね。だから∠RBQと同じなんですよ。
つまり∠OPB＝RBQになるんですよ。

さらに∠BOPが90°で∠QRBも90°
そうすると①②③から
直角三角形の合同条件、これを使う。△BOPと△QRBにおいて
まずは直角三角形であるということ。
そして斜辺が等しいし、1つの鋭角がそれぞれ等しいって言えるわけですね。

そうすると、合同だよ。…で、合同って言えると、
どう言えるのか、っていうこと。

合同って言えるから、ここは「10」なんです。GR=10、RB＝X。
ARが50－X。これを使うと、あることを利用できる。
大きな直角三角形△AOBと、小さな直角三角形△ARQが相似。
△AOB∽△ARQ。これはいきなり書いて良いと思いますよ。
「比」をつかう。つまりAO：AR
辺の比で考えるんですよね。

つぎにOP：RQ。
これより、はい「50－X：60」＝「10：X」となりますね。
よって…というわけです。

比から、こういう比が出て、これがですね、計算するとこうなる。
これがですね、20または30となります。
20または30のときに45°っていうことは、
20mから30mの間は45°以上あったっていうこと。
こんどは真上からですね、こうやって見る。
はい、角があって、20mから30mの間が45°以上ということになる。
だからこの部分。

この部分が求める面積になるわけですね。
だから…後はまぁ、簡単ですね。
半径30mの半径20mの円の面積を引けば良いのですね。
これは「和と差の積」ですよ。
それの4分の1だ。

だからこうなりますね。
そしたら、これは50✕10だから500つまり4分の500πつまり125π平方メートル。
これが正解ということになるんです。
実は解法はあとまだ6通りくらいあって、たくさんあるんですけど。
今日はこれだけにしておきますね。