ゴールデンウィークは大学入試傑作問題。2008年京大数学は地理問題?


大学入試 傑作選

2008年京大数学より

地球上の北緯60°東経135°の地点をA
北緯60°東経75°の地点をBとする。
今、AからBに向かう2種類の経路Sと経路Fを考える。
経路SはAからBに向かって同一緯度の経路とする。
経路FはAとBを通る地球の大円に沿った経路のうち距離の短い方とする。
経路Sに比べて経路Fは、距離が3%以上短くなることを証明せよ。

( 注 )
※ 地球は完全な球体であるとする。
※ 経路は高度0とする。
※ 必要があれば添付の三角関数表を用いよ。

リード

中学地理の基礎知識があれば、経路Sはいわゆる「航路」すなわち船で移動する際の経路だ、とわかる。
同様に、経路Fはいわゆる「大圏コース」すなわち「航空路」であり、地球上の2点を結ぶ最短経路であることがわかってしまう。
だが、それだけではなく「3%以上短くなることを証明せよ」とくるのだから、そこはさすがに数学の問題である。

解法としては以下になろう。

地球の半径をRとすると、航路Sを弧とする扇形の半径は緯度の余弦より(R/2)となり、その中心角は経度の差だから60°だ。よって弧度法により弧長を計算すると、航路Sは (πR/6) =30°・Rだ。
このとき、ついでにABの長さを出しておくと、先ほどの中心角が60°だから、正三角形の1辺となるので、AB=(R/2) だ。
次に航路Fを弧とする扇形の半径は、大円であることからRである。よって地球の中心をOとすると△OABで余弦定理を用いて、cos∠AOB=(7/8) となる。三角関数表を用いると、
∠AOB<29°だから弧長を計算すると、航路Fは 29°・Rとなる。
よって、航路F÷航路S< 29/30 < 0.96666・・・・
以上より、経路Sに比べて経路Fは、距離が3%以上短くなることが証明された。

後日談

実はこの問題、当時、非常に話題になった。
多くの塾・予備校が京大に質問状を送ったのである。
曰く「地理選択者に有利であるのではないか?」と。
それに対する京大の回答はシンプルだった。
「地理の知識は義務教育の範囲であって問題ない」
・・・・うむぅ~、確かにそうだ。。。。

また「大円」を知らない受験生も多くいたようだ。
従って受験生はこの問題を敬遠し、合格者の中でも最初から着手しない者も多くいたようである。

雑感

この問題は、しっかりと深く考えさせるものであり、かつ難問ではない。
義務教育の範囲である、ということもそうだが、非常に具体的で身近な話題に沿ったものだ、と言える。
そうした点においても、大変な良問であると、私は考えるのである。

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