センター試験が近いけれども、これだけはおさえておきたい理系数学(2)

1月6日(金)【鍛錬問題解説】
日 ⇒ 英文読解
月 ⇒ 数学1A
火 ⇒ 英文法/語法/構文
水 ⇒ 数学2B
木 ⇒ 英単熟語/英作文
金 ⇒ 数学3
土 ⇒ 小論文/etc

 
  

極方程式

 
直交座標と極座標(2次元)の変換とメリットの比較

平面上の点の位置は2つの数字を使うことで表現できる。
その中でも動径と偏角を用いて点の位置を表現する方法を極座標表示と言う。

極座標表示

・直交座標(xy 直交座標,デカルト座標)
(x,y)で点の位置を表す方法,最もよく使う座標系。

極座標表示と例題
・極座標
(r,θ)で点の位置を表す方法。
rは原点からの距離を表し,動径と呼ばれます。
θはx 軸正方向から反時計周りに測った角度を表し,偏角と呼ばれます。

図において点 A の位置は
直交座標で
(x,y)=(1,1)
と表しても良いですが・・・

極座標で
(r,θ)=(√2,π/4)
と表しても良いのです。

 

 

 

 

直交座標のメリット

どの座標も対等です。
従って多くの場合、微分や積分の計算が楽になります。

1つの点と2つの実数の組(x,y)の間に1対1対応があります。

極座標のメリット

「距離」「角度」で表現するから、イメージしやすいですね。
物理現象、特に円運動の記述に便利なことが多いです。

極座標で表す方が簡潔な図形の方程式もけっこうありますよ。
例えば,円の方程式。
通常は X^2+Y^2=r^2 ですが、それよりも・・・
極座標だと r=A になりますし、簡潔ですね。
他にもカージオイドやレムニスケートなどは、極座標のほうが簡潔です。

12月30日の【個別添削課題】解答解説 (以下「x^2」は「xの2乗」を意味する)

[1] 方程式 Z^6=1 を解け。

《 そのまま計算する方法 》

Z^6=1より
Z^6-1=0
(Z^3-1)(Z^3+1)=0
(Z-1)(Z+1)(Z^2+Z+1)(Z^2-Z+1)=0

(Z-1)(Z+1)=0 より、Z=±1
Z^2+Z+1=0 より、Z={-1±(√3)i}/2
Z^2-Z+1=0 より、Z={1±(√3)i}/2

《 極形式を利用する方法 》

r を非負実数、θをZの偏角とし -π≦θ<π とする。
このとき Z=r(cosθ+i・sinθ) とすることが出来る。
さてド・モアブルの定理により Z^6=r^6(cos6θ+i・sin6θ) となる。
また、1=cos0+i・sin0 だから、r^6=1よりr=1となる。
さらに 6θ=2k・π だから θ=(1/3)k・π
-π≦θ<π より、k=0,-3,±2,±1 となる。
よって、Z=±1 , {-1±(√3)i}/2 , Z={1±(√3)i}/2
この解は下図のように、単位円に内接する六角形の頂点となる。
ただし、その一つは必ず 1 である。

[2] 方程式 Z^4=-8+8(√3)・i を解け。

r を非負実数、θをZの偏角とし 0≦θ<2π とする。
このとき Z=r(cosθ+i・sinθ) とすることが出来る。
さてド・モアブルの定理により Z^4=r^4(cos4θ+i・sin4θ) となる。
また-8+(8√3)・i =16{-1/2+(√3/2)・i}=16{cos(2/3)π+i・sin(2/3)π}
よって係数比較してr^4=16 より r=2
4θ=(2/3)π+2k・π だから、θ=π/6+(k・π)/2
0≦θ<2π より、k=0,1,2,3 である。
よって、
Z=√3+i , -1+(√3)・i , -(√3)-i , 1-(√3)・i となり、以下の図となる。

 

【個別添削課題】 受付締切2017年1月12日(木)24時

それでは個別添削課題です。
今回は極座標からの出題です。
奮って御参加下さい❢❢

媒介変数 t (0≦t≦π/2)を用いて
x={e^(−t)}・cost
y={e^(−t)}・cost
と表される曲線Cとx軸、y軸で囲まれた領域の面積を求めよ。

直接鍛錬指導にて丁寧に指導❢

鍛錬場では直接鍛錬指導にて、丁寧に指導します。
どうぞご遠慮無く、まずはアクセス❢❢

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です