センター試験が近いけれども、これだけはおさえておきたい理系数学(1)

12月30日(金)【鍛錬問題解説】

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数学Ⅲの概要

数学Ⅲには、極限/微分/積分/2次曲線/複素数・複素数平面 の5単元があります。
そして本日は「複素数・複素数平面」について詳しく説明します。

私立大学では数学Ⅲの割合が少ないところもあります。
しかし国公立大学では数学Ⅲの比重が大きいのです。

理系数学の記述試験は大抵は5問前後です。
その中で2~3問が「数学Ⅲ」から出題されます。

仮に5問中3問が数学Ⅲから出題されたとします。
この3問を完全に解答すれば、それだけで60%。
ほぼ合格ラインに到達してしまいます。

それだけ理系にとって数学Ⅲは重要なのです。
センター前でも、軽く考えていられませんね。

極限

ここでは無限という概念を勉強します。
考えたことのないことなので難しいかもしれません。
しかし、それでも慣れれば大丈夫ですよ。

微分

これは数学Ⅱでも勉強します。
ただ数学Ⅱでは3次関数までなのです。

ところが数学Ⅲでは特殊関数も扱います。
・分数関数
・無理関数
・指数関数
・対数関数
・三角関数
こういった関数を特殊関数と言います。

「微分」で行われることは、主に以下の4つです。
・接線を求めること
・グラフを描くこと
・最大最小を求めること
・不等式の証明

積分

実は「極限」「微分」は「積分」のための道具なのです。
それ自体で独立して出題されることはあまりありません。
ですから「極限」「微分」ができないと「積分」は出来ません。
「極限」「微分」は「積分」の前に、しっかりと理解しましょう。

積分は、微分に比べて難しいです。
計算の法則性というものが複雑なのです。
よって「パターンを暗記する」ということが重要になります。

積分は面積や体積を求めます。
その際、微小を足し合わせて全体にする、と考えます。
この概念を理解することが、本当に重要です。

2次曲線

放物線、楕円、双曲線の3曲線について学習します。
まずは定義や基本事項を確実に暗記しましょう。

この分野の問題には、頑張れば計算でなんとかなります。
しかし図形的性質を利用すると簡潔なものが多いのです。
いざというときの計算力は確かに重要です。
しかし2次曲線特有の解法、というものを身につけましょう。

特にこの3曲線、実は同種のものなのです。
この事実は極めて重要なのです❢❢

数Ⅱの「図形と方程式」との共通点が多いです。
なぜなら「円」も2次曲線だからなんですね❢
従いまして「図形と方程式」との融合問題が多いです。
また「軌跡と領域」との融合問題も多いです。

数Ⅱ上記分野をきちんと学習しておくことが肝要なのです。

複素数・複素数平面

複素数とは、実数の上位概念です。
実数とは「数直線上に実際に存在する数」を示します。
これに対して、例えば「2乗して負になる数」を虚数と言います。
そして、実数と虚数を合わせて「複素数」と言うのです。

例えば (Xの2乗)-2X+5=0 を解きましょう。
「解の公式」を用います。
すると X=1±(√-4) になります。
√ の中が「マイナス」なのですから、これは虚数です。
そこで (√-4)=(√-1)・(√4)=2・(√-1) とします。
このときの (√-1) を「 i 」とするのです。
すると X=1+2・i または、X=1-2・i となります。
この「 i 」を「虚数単位」と言います。

さてここで、縦横に軸を持つ2次元直交座標考えます。
横軸を「実軸」縦軸を「虚軸」とするのです。
そして 1+2・i を、平面座標点 (1,2) に対応させます。
これが複素数平面です。

虚数は数直線という1次元では表せません。
そこで、2次元を用いて、その位置を示すのです。

数を平面に対応させた結果、大きな拡がりを得ました。
すなわち「数を図形的に考える」が可能になったのです。
また逆に「図形を数で考える」も可能です。

こうした新しい概念には戸惑いはつきものです。
しかし実は、ベクトルの考え方を応用すれば大丈夫。
学習を進めつつ、その意義を身につけて下さい。

さて複素数平面の問題の解法は大きく4つに分けられます。

複素数(通常はZで示される)のままで解く。

この方法が最も基本です。
ただし、複素数平面特有の変形、というものがあります。
こうした式変形への「慣れ」が必要になります。

極形式を利用して解く。

この解法は「回転」と「n乗」に強いものです。
しかし、三角関数の計算が大変、という側面があります。

図形的意味を考えて解く。

この解法が可能な場合、非常に簡潔な形で済みます。
しかし「式と図形」の分野との対応関係を深く理解せねばなりません。

実部+虚部・i つまり Z=X+Y・i として解く。

この解法は、いわば万能で、大抵の問題は解けてしまいます。
しかしながら「計算の煩雑さ」が、重くのしかかります。

【個別添削課題】 受付締切2017年1月5日(木)24時

それでは個別添削課題です。
今回は複素数平面からの出題です。
奮って御参加下さい❢❢

[1] 方程式 (Zの6乗)=1 を解け。

[2] 方程式 (Zの4乗)=-8+8(√3)・i を解け。

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