一橋大学合格の鍵は数学。毎年第1問に出される整数問題を攻略すべし。

 

 

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※ 鍛錬問題解説 ※
一橋大学の配点は数学が重視されています。
社会学部以外、2番めに配点が高いです。

一橋大学合格の鍵の1つは数学なのです。
数学が出来ない限り、一橋大学は合格できません。

一橋大学数学攻略法

一橋大学の数学を攻略する方法があります。
それは傾向を把握して重点的に勉強することです。

一橋大学の数学は、毎年、ほぼ決まった分野から決まった形で出題されるのです。
数学の大問数は5つですが・・・

「整数問題(数列との融合)」
「確率(数列との融合)」
「微分積分」
「ベクトル」
「図形問題(数列との融合)」

・・・例年、こんな感じなのです。

※「整数問題」と「確率」は対策必須の分野です。
※「微分積分」の問題は比較的簡単ですから、必ず解けるようにしましょう。

整数問題

 

というわけで、今回は対策必須分野の「整数問題」について、詳しく述べます。

整数問題は10パターンである

まずは全てのパターンを紹介しますね。

[01] 不定方程式や不等式の問題

本来は解けない問題を、整数という条件を適用して因数分解・素因数分解などを利用して解く、もっとも代表的な整数問題です。

[02] ユークリッドの互除法と2元1次不定方程式

今回の学習指導要領から導入されました。

[03] 桁ごとの数を未知数とおいて求める

各桁の数を1桁の未知数とおいて、不定方程式の手法を使って解く問題です。
多くは計算問題となって、解きやすくなるのです。

[04] 剰余類を利用して解く

2,3,6などの整数で割った余りによって、整数をグループ化する問題です。
この手法が適用できる問題は数多くあるから、困ったら適用してみるのが得策です。
一橋大学に頻出ですよ。

[05] 約数の数と合計の問題

約数の数と総計の計算は公式を利用します。
計算できるなら整数問題を解くのは容易です。
これも一橋大学に頻出です。

[06] 記号問題

ガウス記号などの記号問題ですね。
既習の数学との関連付けが課題となります。

[07] 約数・倍数・素数の総合問題

約数・倍数・素数の性質を使って解く整数問題。
これもまた一橋大学に頻出です。

[08] 隣り合う整数 ⇒ 「互いに素」

証明することが難しい問題が多いようです。

[09] 整数係数多項式の問題

この種の問題は、整数問題の中の大きな分野になります。

[10] 数学的帰納法・背理法を使って証明する

整数nの絡んだ問題はこれで解きます。
整数nが出てこない問題は背理法を使って証明しましょう。
数列との融合問題が多いですね。

例題

kを正の整数とする。
5・(nの2乗)-2kn+1<0 を満たす整数nが、ちょうど1個であるような整数nを全て求めよ。

解答・解説

以下の内容をしっかり読んで、理解しましょう❢❢

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左辺=f(n) として、f(n)=0 のときの n を「解の公式」を用いて解くと、
n={k±(√(kの2乗)-5)}/5 ・・・① となる。
n は実数だから、(kの2乗)≧5 ・・・②
以上より f(n)<0 を満たす整数 n は、①より、
{k-(√(kの2乗)-5)}/5< n <{k+(√(kの2乗)-5)}/5 となる。
さてここで n は1個だけしかない整数なのだから、
{k+(√(kの2乗)-5)}/5 - {k-(√(kの2乗)-5)}/5 < 2 となる。
すなわち 2・(√(kの2乗)-5)/5< 2 となるから、(kの2乗)< 30 ・・・③
よって②,③より、5≦(kの2乗)< 30 を満たす自然数となることが必要。
よって、k=3,4,5 が必要条件となる。

(i)
k=3 のとき、f(x)=5・(xの2乗)-6x+1=0 を解くと、x=(5分の1),1となる。
(5分の1)と1との間には整数が無いため、 f(n)<0 を満たす整数 n は存在しない。

(ii)
k=4 のとき、f(x)=5・(xの2乗)-8x+1=0 を解くと、
x = {4±(√11)}/5 = 0.1366・・・ または 1.4633・・・
となる。よって、f(n)<0 を満たす整数 n は 1 となり、それが唯一となる。

(iii)
k=5 のとき、f(x)=5・(xの2乗)-10x+1=0 を解くと、
x= {5±(2√5)}/5 = 0.1055・・・ または 1.8944・・・
となる。よって、f(n)<0 を満たす整数 n は 1 となり、それが唯一となる。

以上、(i)(ii)(iii) より、k = 4 or 5 となる。

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