理系への数学 いろいろな曲線

極方程式

平面図形をX-Y座標系に数式を用いて描く方法は、3通りあります。

(1) 「 XとYとの関係式=0 」 の形

(2) 「 X=tの式 / Y=tの式 」 の形(いわゆるパラメータ型)

(3) 「 rとθの関係式=0 」 の形(極方程式)

すべての図形(主に曲線)が、これら3つの型で表現できるわけではありません。

※ (1)(2)は導けたが、(3)は導き出すことも出来ない。

※ 逆に(3)は導けたが、(1)(2)にすることが出来ない。

こういうパターンも結構多いんです。

 

極方程式の入試出題傾向は・・・?

2016年入試では、直接ではありませんが東大で極方程式が出題されました。

入試の特徴として「東大に出ると他大学にも出題される」というものがございます。

従いまして、極方程式の勉強をきちんとやっておく必要があるでしょう。

 

よく出る曲線 カージオード

最もよく出題される曲線の一つです。

主に媒介変数表示式で表されます。

x=a(1+cosθ)cosθ
y=a(1+sinθ)cosθ

また、極方程式で表わされることも非常に多いです。

r=a(1+cosθ)

となります。
これを一般化して、r=a・cosθ+b の曲線を「リマソン」といいます。

a=b のときが、カージオイドとなります。

 

aとbの比率を変えたときの図を示しておきます。

 

東北大学、大阪大学、名古屋大学などで非常によく出題されています。

 

よく出る曲線 サイクロイド

これもまた最もよく出題される曲線の一つです。

主に媒介変数表示式で表されます。

x=a(θ-sinθ)
y=a(1-cosθ)

 

こちらの方は、極方程式で表わされることは、稀です。

サイクロイドは図のように「直線上を円が滑らずに転がる際に、その円上の1点が描く曲線」と定義されています。

別名「最速降下曲線」とも呼ばれます。

その理由は、このサイクロイド曲線に傾きを与えた場合、他のどの曲線よりも速く物体が転がるからなのです。

図の真ん中の曲線が サイクロイド曲線ですが、三角形の真っ直ぐの坂よりも サイクロイド曲線の方が ボールは 速く滑り落ちるのです。

これは野球の投手の理論にも応用されています。

 

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