大学入試の条件付き確率は、かつてはあまり出題されなかったけれども、今後は出題されることが予想されます、という話。[前編]

 

今日は火曜日なので「文系への数学」について話します。

例題からやってみましょう

[例題] 「ハート」のトランプ・カード13枚(A,2~10,J,Q,K各々1枚ずつ)が箱の中に入っている。
今、箱の中から2枚のカードを順番に引く。
(1) 1枚目がJ,Q,Kのいずれかである確率を求めよ。
(2) 2枚目がJ,Q,Kのいずれかである確率を求めよ。
(3) 1枚目がJ,Q,Kのいずれかであるとき、2枚目もJ,Q,Kのいずれかである確率を求めよ。

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いかがでしょうか?

実際に解いてみて下さいね。

例題(1)(2)の解答

(1)
まずは分母を考えます。
全部で13枚あるのだから、1枚目の場合の数は13通りです。
その後で2枚目を引くのだから、残った枚数を考慮すると、2枚目の場合の数は12通りです。
問題文に「順番に引く」とあるので、1枚目と2枚目とは「区別しなければならない」。
従って「分母は13×12通り」となります。
次に分子を考えます。
J,Q,Kは全部で3枚あるのだから、1枚目の場合の数は3通りです。
その後で2枚目を引くのですが、2枚目は何でも良いので、残った枚数を考慮すると、2枚目の場合の数は12通りです。
問題文に「順番に引く」とあるので、1枚目と2枚目とは「区別しなければならない」。
従って「分子は3×12通り」となります。
よって、求める確率は(3×12)/(13×12)=3/13となります。

(2)
分母は(1)と同じですから「13×12通り」となります。
次に分子を考えます。
場合分けが必要になりますね。
① 1枚目がJ,Q,K以外 ⇒ 2枚目がJ,Q,K
② 1枚目がJ,Q,K ⇒ 2枚目もJ,Q,K

①の場合
J,Q,K以外は全部で10枚あるのだから、1枚目の場合の数は10通りです。
その後で2枚目を引くのですが、2枚目はJ,Q,Kでなければならないので、2枚目の場合の数は3通りです。
よって1枚目と2枚目を区別して「10×3通り」となります。

②の場合
J,Q,Kは全部で3枚あるのだから、1枚目の場合の数は3通りです。
その後で2枚目を引くのですが、2枚目もJ,Q,Kでなければならないので、2枚目の場合の数は1枚目に出たものを除いた2通りです。
よって1枚目と2枚目を区別して「3×2通り」となります。

①と②は、どちらも起こり得るのですが、決して同時には起こり得ません。
このような場合を「排反事象」と言い、和の法則によって足し算を行います。
従って「分子は10×3+3×2=(10+2)×3=3×12通り」となるのです。

よって、求める確率は(3×12)/(13×12)=3/13となります。

 

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