一橋大学合格のための数学攻略法。ベクトル問題は、こうして解く❢

※ 鍛錬問題解説 ※

一橋大学の数学の配点は非常に高いのです。

一橋大学の数学は、毎年、ほぼ決まった分野から決まった形で出題されるのです。
数学の大問数は5つですが・・・

「整数問題(数列との融合)」
「確率(数列との融合)」
「微分積分」
「ベクトル」
「図形問題(数列との融合)」

・・・例年、こんな感じなのです。

※「整数問題」と「確率」は対策必須の分野です。
※「微分積分」の問題は比較的簡単ですから、必ず解けるようにしましょう。

 

ベクトル問題攻略法

上記出題分野にもある「ベクトル」ですが、複雑で難しい問題が出るようです。
しかし、ちょっとしたコツを身につければ、そのベクトル問題、なんとかなるものなのです。

今回はベクトル問題攻略法をお伝えしましょう。

ベクトル問題

ベクトル問題を解くには「計算アプローチ」と「図形アプローチ」があります。
例えば「ベクトルの絶対値が出たら2乗せよ」等のセオリーがあるのです。

2006年一橋大学数学第3問

今回取り上げる2006年の問題も、多くの人が「計算アプローチ」で解いたようです。
ちょっと見てみましょうか・・・。

ベクトルの絶対値です。
2乗して計算して解く、というセオリーですね。
一般的な解法を見てみましょうか・・・。

あ・・・文字が小さいですし、画像も鮮明ではないので、真剣に読まなくて良いですよ❢
「普通にやるとこんなに大変なんだぁ~」って思って下さるだけでOKです。

一般的な解法

では次に、2乗しない方法を見てみましょう。
これも、ざっと眺める程度で良いですよ。

先ほどより、少しラクそうですね。
でもまだ計算が複雑に見えて、難しいな、という印象です。

では最後に、図形的に考えた別解を示しましょう。

別解

これはきちんと見て下さいね❢
(以下ゴシックをベクトルとする)

(1)
Oを原点とする座標平面上で考える。
a=OA,b=AB,c=BC とすると、
z=OA+AB+BC=OC となる。
さて A(5,0) としても一般性を失わない。
そのとき点Bは、
点A(5,0) を中心とする半径3の円周上にある。
すると点C は、
その円周上の任意の点を中心とする半径1の円周上にある。
よって点C の存在領域は右図のドーナツ状になる。
従って、
C(9,0) のとき|z|=9 で最大。
C(1,0) のとき|z|=1 で最小。
となる。

(2)
内積の図形的性質より、
直線 x=4 上にCがあれば、
za=20 となる。
第1象限と第4象限とは図形的に対称なので、第1象限でのみ考える。

右図で
CがCM のとき、
|z|が最大となり、
CがCm のとき、
|z|が最小となる。

ACM=4 だから△ACMHで三平方の定理より、
CMH=√15
よって△OCMHで三平方の定理より、
OCM=|z|=√31 で最大。

ACm=2 だから△ACmHで三平方の定理より、
CmH=√3
よって△OCMHで三平方の定理より、
OCm=|z|=√19 で最小。

ベクトルを図形で捉えるとわかりやすい

このように、ベクトルを図形として把捉するのです。
そうすれば、非常にわかりやすく、スッキリとした解答を得られます。
どうぞ参考にして下さいね。

鍛錬場が徹底的にサポートします!

難関大 動画添削ネット指導塾 鍛錬場(たんれんば)の指導は、細かなところに手が届く、具体的でわかりやすい指導、と言えます。

まずは無料体験授業から、始めてみましょう!


コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です