センター試験過去問クリア90%❢ファイナルチェック数学1A

1月9日(月)【鍛錬問題解説】

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1月2日の【個別添削課題】解答解説

問題 解答解説

ある2桁の正の整数mを2乗すると下2桁が16になる。これを満たすmをすべて求めよ。

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aとbを0から9の整数とし、
m=10a+bとすると
m^2=(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2
題意を満たすためにはb^2の一の位が6にならないといけない。
そのようなbは4または6である。

(i) b=4 のとき、Aを整数として、
80a+16=100A+16 となる。
よってa=(5/4)Aである。
これを満たすAは4しかない。
このときa=5となる。
実際、54×54=2916となり、題意を満たす。

(ii) b=6 のとき、Aを整数として、
120a+36=100A+16 となる。
このとき、6a=5A-1 となる。
a=0~9 まで入れて確認すると、
a,A の双方が整数となるのは、
a=4 と 9 のとき。
実際、
46×46=2116
96×96=9216
となり、題意を満たす。

~~~~~~

このように「1つ1つシラミつぶしに代入して考える」という手法も「整数問題ならでは」なのです。

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さて今回はセンター試験第3問対策です。

円に内接している四角形

円に内接している四角形って非常によく出題されます。
従いまして、すぐに解決できるがあれば、とても心強いですよね。。。

そこで今回は、そうしたをいくつか御紹介いたします。

トレミーの定理

トレミーとは古代ギリシアの天文学者クラウディオス・プトレマイオスのことです。

それゆえこの定理は「プトレマイオスの定理」とも呼ばれます。

円に内接する四角形 ABCD において、

AC・BD
=AD・BC+AB・DC

が成立するのです。

折り曲げて考える

円に内接する四角形で、隣り合う2辺が等しい場合、非常に面白い性質が現れてくるんです。

例えば図において、四角形ABCDが円に内接していて、AB=BC,AD<CD とします。

このとき、円周角の定理より
∠BDA=∠BDC=θ なので、
△BDAをBDで折り曲げると必ず点Aは辺CD上に乗る。
それをA’とすると、
△BDA≡△BDA’ ・・・①

また、BA’=BCだから、
BからCDに垂線を引き、その足をHとすると、
△BA’H≡△BCH ・・・②

以上より、
四角形ABCDの面積をSとすると、

S=2・△BDH

ここで、点Bの直線CDに関する線対称点をB’とすると、
S=△BDB’
となるから、

S=(1/2)・BD^2・sin2θ [※]

という式を得る。

 

それでは以下の練習問題に取り組みましょう。

 

 

 

 

練習問題
点O(0,0)を原点とする座標平面上に3つの点A(0,1),B(第2象限),C(第1象限)がある。
∠COB=120°, ∠BAC=60°, OB=2OC , AB=ACを満たしている。
このとき OB,OC,AB,AC の長さをそれぞれ求めよ。
また、四角形OBACの面積Sを求めよ。

AB=AC=a , OC=k とする。
AB=AC , ∠BAC=60°より△ABCは正三角形。
よって AB=BC=CA=a
また OB=2k , OC=k
さらに∠BAC=60°,∠COB=120°だから
四角形OBACは円に内接している。
よってトレミーの定理より、
OA・BC=OB・CA+OC・AB なので、
1・a=2ak+ak となる。
a≠0 より、k=1/3
よって、
OC=1/3 ・・・①
OB=2/3 ・・・②
さて[※]より、
S=(1/2)・1・1・(√3/2)=(√3/4) ・・・③
また、
△OBC=(1/2)・(1/3)・(2/3)・(√3/2)
=(2/9)(√3/4) ・・・④
③④より、
△ABC=(7/9)(√3/4)
従って、AB=AC=√7/3 ・・・⑤
よって①②③⑤が、各々の解答である。

【個別添削課題】 受付締切2017年1月15日(日)24時

以下の問題を【個別添削課題】として出題いたします。
皆様からの挑戦を、お待ちしておりますよ❢❢

問題
四角形ABCDが、半径(65/8)の円に内接している。
この四角形の周の長さが44で、BC=CD=13,AB<DA となっている。
ABとDAの長さを求めよ。

 

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