センター試験過去問クリア90%❢ファイナルチェック数学2B(2)

1月4日(水)【鍛錬問題解説】

日 ⇒ 英文読解
月 ⇒ 数学1A
火 ⇒ 英文法/語法/構文
水 ⇒ 数学2B
木 ⇒ 英単熟語/英作文
金 ⇒ 数学3
土 ⇒ 小論文/etc

センター数学2Bの特徴

センター数学2Bの特徴は、以下のとおりです。

● 60分間で大問4つの100点満点です。
● 必須問題と選択問題に分かれています。
※ 各問題の出題範囲は以下の通り
⇒ 必須問題:指数・対数関数、三角関数、微分法と積分法
⇒ 選択問題:数列、ベクトル、確率分布と統計的な推測 から2つ
●試験時間に対して計算量は多いが、軌道に乗れば答えにたどり着く

センター数学2Bは、実は難しい発想を要求する問題は出題されません。
解くスピードが何よりも大事です。
解くスピードをアップさせるには、ともかく典型問題の解法を多く憶えることです。
そうすれば計算にも余裕が出来て、スムースに進みます。

このサイトの問題を、しっかり憶えて下さいね❢❢

12月28日の【個別添削課題】解答解説 (以下「x^2」は「xの2乗」を意味する)

【問題】
xy 平面上の放物線 Y=(Xの2乗) 上に3点 A,B,C があり、△ABC は1辺の長さが k の正三角形である。また直線 AB の傾きは √2 である。このとき、k の長さを求めよ。
(ただし、解法を2つ以上書け)

数学2Bから「図形と式」の分野の出題でした。
まずは2つある解き方の1つ目を御紹介いたします。
三角関数を用いた解法で非常に応用度が高く、一般的です。

考え方 【1】

まずは、3点の座標を設定しましょう。
A(a,a^2),B(b,b^2),C(c,c^2) とします。
このあと、何を使ってどう式にするかが問題です。
正三角形という条件を「辺の長さ」で式にすると、

k^2=AB^2=BC^2=CA^2 すなわち
k^2=(b-a)^2+(b^2-a^2)^2
=(c-b)^2+(c^2-b^2)^2
=(a-c)^2+(a^2-c^2)^2

となります。
しかしこれを整理するのは大変。
もちろん、この方法で解けないわけではありません。
しかし普通の人は、へこたれます。
文字の次数が高いからです。

正三角形は「3つの内角がすべて60度」です。
このように角で捉えるのがベスト。
特に座標での正三角形ではそうしましょう。
また、角を使って式にする場合でも「COS」はアウト。
余弦定理もベクトルの内積も「文字つきルート」がでるためです。
こういうときは「tan」を用いることに気づきましょう。

解答 【1】

A(a,a^2),B(b,b^2),C(c,c^2) とする。
このとき、直線ABの傾きが√2 だから、
a+b=√2 ・・・① となる。
さてここで、左回りにA,B,Cの順であるとしても一般性を失わない。
また、直線ABとx軸正方向とのなす角をθとすると、tanθ=√2 である。
よって直線ACの傾きは、
tan(θ+60°)=(tanθ+tan60°)/(1-tanθ・tan60°)
=(√2+√3)/(1-√2・√3)
=・・・=-(4√2+3√3)/5
よって、a+c=(-4√2-3√3)/5 ・・・②
同様に直線BCの傾きは、
tan(θ+120°)=(tanθ+tan120°)/(1-tanθ・tan120°)
=(√2-√3)/{1-√2・(-√3)}
=・・・=(-4√2+3√3)/5
よって、b+c=(-4√2+3√3)/5 ・・・③
③-②より、
b-a=(6√3)/5 ・・・④
さてここで、
k^2=(b-a)^2+(b^2-a^2)^2
=(b-a)^2+(b-a)^2(b+a)^2
=(b-a)^2{1+(b+a)^2}
だから、これに①と④を代入して、
k=18/5 ・・・(答)

~~~~~

次に2つ目です。
図形の性質を利用した、工夫された解法です。

考え方 【2】

正三角形などの「正~」という図形がでてきたら、まず「対称性」を考えます。
今回は「正三角形」ですから、以下の対称性があります。

●三角形の重心に関して点対称
●中線に関して線対称

点対称性の利用を考えてみましょう。
正三角形を回転させ、例えばx軸上に底面を載せ、y軸上に中線を載せます。
すると、座標設定はラクかもしれませんが、放物線も一緒に回転させてしまいます。
これでは複雑すぎます。

では次に、線対称性を考えてみます。
辺ABの中点を原点に平行移動させるのです。
すると放物線もただの平行移動ですから、問題ありませんよね。

解答 【2】

辺ABの中点を原点に平行移動させ、その結果△A’B’C’となるとする。
このとき、放物線は以下の式になる、とする。
y=x^2+p・x+q ・・・①
またA,B 2点の座標は、線対称牲より
A(-a,-(√2)・a),B(a,(√2)・a) とおける。(ただしaは正)・・・②
このとき三平方の定理より、OB’=(√3)・a
よって、OC’=3a となり、直線OC’の傾きが-1/√2 であることから、
C’(-(√6)a,(√3)a) となる。・・・③
②,③を①に代入すると、
-(√2)・a=a^2-p・a+q ・・・④
(√2)・a=a^2+p・a+q ・・・⑤
(√3)a=6・a^2-(√6)p・a+q ・・・⑥
⑤-④より、p=√2
⑤+④より、q=-a^2
これらを⑥に代入すると、
(√3)a=6・a^2-(2√3)・a-a^2
a≠0より、a=(3√3)/5
よって、
k=2OB’=2(√3)・(3√3)/5=18/5 ・・・(答)

~~~~~~

★ 解答を送ってきて下さった方 ⇒ 10名
・2通りの解答で2つとも正解 ⇒ 3名
・2通りの解答で1つのみ正解 ⇒ 2名
・2通りの解答で正解なし ⇒ 1名
・1通りの解答で正解 ⇒ 3名
・別解 ⇒ 1名

【個別添削課題】 受付締切2017年1月10日(火)24時

以下の問題を【個別添削課題】として出題いたします。
数学2Bから「ベクトル」の出題です。
皆様からの挑戦を、お待ちしておりますよ❢❢

問題
空間座標上の原点O(0,0,0)と、3点A(0,-1,2),B(-1,0,5),C(1,1,3) がある。
四面体OABCの体積を求めよ。

 

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