東大数学には四面体等を中心とした空間図形が、多く出題されます。

東大を目指す皆様。
東大の2次試験には空間図形が多く出題されるのです。
そのためには、どうしても知っておかねばならないことがあるのです。

今回、知っておくべき知識は「等面四面体」です。

等面四面体は、東大京大で頻出だ

意外に知られていないのですが、事実です。
後で詳しく述べますが、当面四面体の性質を知っているかどうかで、合否が決まるのです。

それでは例題を見てみましょう。

四面体の辺に接する球

【 問 題 】2005東大・改

ある正四面体の辺に接する半径1の球がある。

この四面体の1辺の長さを求めよ。

等面四面体

 

4つの面の全てが「合同な三角形」である四面体を「等面四面体」と言います。

図のように、鋭角三角形の各辺の中点を結んで折り曲げれば、4つの面の全てが合同な三角形である四面体が出来上がります。

実はこの等面四面体には、ある大きな特徴があるのです。

 

それは・・・直方体に内接する、というものです。

詳しくはこちらのサイトに記述されていますが、等面四面体のほとんどの問題は「直方体に埋め込む」と解決してしまうのです。

 

例1)⇒1996年 東京大学 理系 後期 第2問
解答)⇒こちら

例2)⇒1999年 京都大学 理系 後期問題 解答

例3)⇒2014年 早稲田大学 理系 問題 解答

このように、等面四面体は難関大学に頻出であります。

しかも「知っていれば、あっという間に解けてしまう」「知らなければ、大変苦労してしまう」という、非常に危険な内容なのです。

もちろん「正四面体」は「等面四面体」の1つです

従って、図のように「立方体」に埋め込むことが出来ます。

このとき、その立方体の1辺の長さは「向き合う対角線の中点と中点の距離」に等しく、「向き合う対角線の中点と中点の距離」は、まさに「辺接球」の直径になります。

さらに対角線は正四面体の1辺の長さですから、今回の解答は、次のように一瞬で出来てしまうのです。

【 解 答 】
正四面体は立方体に内接する。
そのとき正四面体の1辺は、当該立方体の1面である「正方形」の対角線になる。
さて正四面体の辺に接する球の直径は、まさに向き合う対角線と対角線との距離そのものである。
従って当該立方体の1辺の長さは2となるので、求める正四面体の1辺の長さは、1辺の長さが2の正方形の対角線の長さに等しい。
よってその長さは2√2 である。

数学でも「知っているか否か」は、非常に大きい❢

数学っていう教科は「暗記不要」「知識不要」と思っている方が多いです。
しかしながらそれは大きな間違いです。
今回のこの問題も、等面四面体とその性質を知っていれば、非常にスムースに解けるのです。

その点を忘れないで下さい❢❢

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