東大理系数学過去問の傾向と特徴、回転体の応用問題

東大理系入試の数学での過去問の傾向と特徴

※ 鍛錬問題解説 ※

今回は、東京大学の理系入試のなかでも数学にスポットをあてます。

「理系数学」と言えば・・・積分です。

そして積分と言えば・・・回転体。

ということで、東大の過去問の傾向とその特徴を紹介します。

2つの回転体

毎年、東大数学入試問題を見ています。

この定点観測をしていると、自然にカッコ門の傾向と特徴がわかってきます。

で、その傾向と特徴は

空間座標問題

がか鳴らす出題されています。

数3の積分で体積を出すんです。

基礎レベルとしては、以下のようなものです。

xy 平面上の y=f(x) を x軸 を中心にまわす。
そのときに y=f(x) による立体の体積を求めよ。

これを「軸平面図回転体」と私は呼んでいます。

それに対してやや難しいのは・・・。

xy,yz,zx のどの平面上にもない平面図の回転体です。

これを「浮遊平面図回転体」と私は呼んでいます。

浮遊平面図回転体

空間内における3つの軸とは無関係。

そんな平面図形が、3つの軸のいずれかをまわる。

その結果出来る立体の体積を求める問題。

・・・って、結構、面倒です。

具体的に見てみましょうか。。。

東大理系数学過去問の例

【空間内に斜めに置かれた「円」をz軸まわりに回転させる問題】

空間座標内に、原点O(0,0,0)点A(2,0,0)点B(1,0,1) がある。

直線OBを軸として、点Aを回転させてできる円をCとし、その周囲および内部からなる円盤をDとする。

そして円盤Dをz軸まわりに回転させて出来る立体をEとする。

Eの体積を求めよ。

~~~~~~~~~~~~

この問題、結構面倒です。

平面z=kで切断したときの断面図の面積をS(k)とすると、微小体積はS(k)・⊿kとなります。

だからこれをk=0からk=2まで定積分すれば終了~~。

・・・なんですけどね。。。。。

その肝心のS(k)が、ややこしいんです。

東大理系数学過去問の実例の考え方

切ってからまわすか、回してから切るか。

空間内に「斜めに」置かれた「円」。

それを回転させてできる立体・・・。

非常に、イメージしづらいものです。

従って今回の場合は、まず「切る」のです。

つまり、「円をz=kで切る」のです。

「円」と「z=k」とは「平行ではない2つの平面」です。

ゆえに必ず「直線」が交線として現れます。

今回の場合は、片方が「円」です。

ゆえに、交線は弦すなわち「線分」になります。

その「線分」をz軸まわりに回転させると・・・。

そう「円環図形」すなわち「切り口」は・・・

絶対に「ドーナツ型」になるのです。

では解答の写真です。じっくり見て下さいね。

いかがでしょうか?

上記の答案のように、たくさんの図を描きましょう。

「空間図形問題は平面図を描いて解け」

これが私のモットーなのです。

さぁ、これからもがんばりましょう。

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