英語長文読解教室を学ぶ際には、逆関数についても正確に学ぶべきだろう

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今日は木曜日なので「理系への数学」です。

逆関数を求めさせる入試問題

最近の入試問題で、逆関数の基本的なことを問うものが増えています。

逆関数が存在するときは、必ず「もとの関数」は「1対1対応」でなければならないのに、そういうことがまず理解できていない人が多いのです。

そもそも、そうしたことを学校で習っていないようなのです。

というわけで今回は「逆関数」について説明します。

逆関数とはなんだろうか?

各種定義です。

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(1)(本質的な定義)
ある関数に対して「もとにもどす」関数を逆関数と呼びます。

(2)(代数的な意味)
y=f(x)をxについて解いたところ、x=g(y)となったとします。
その際、y=g(x)をy=f(x)の逆関数と呼びます。

(3)(幾何的な意味)
y=xに関して対称なグラフを逆関数と呼びます。

~~~~~

もっとも分かりやすいのは(2)でしょう。
(3)は非常に危険な憶え方です(逆が成立しないので)。
そこで以下では(2)をメインとして考えます。

4種類の「対応」

そもそも「写像」には「1対1対応」「多対1対応」「1対多対応」「多対多対応」という4つのものがあります。
左が「独立変数」で通常はXで表されることが多いです。
そして「関数」とは「独立変数Xの値が1つ決まれば、従属変数Yの値がただ1つ存在する」場合を言います。
つまりy=f(x)が成り立っている場合のみ、なのです。
従って「関数」は、上記4つの「対応」のうち、「1対1対応」と「多対1対応」のみになります。

4つの「対応」の具体例

たとえば1次関数は、xの1つの値に対して、yは1つしか決まりませんよね。
こういうのを「1対1対応」って言いますが、「独立変数Xの値が1つ決まれば、従属変数Yの値がただ1つ存在する」を満たしていますので、「1対1対応」は「関数」です。

またy=(xの2乗)は、xの2つの値に対して、yが1つ決まります。
例えば、x=±1に対しては、y=1ですね。
要するに、独立変数xが1のとき、従属変数yは1というふうに「1つだけ決まり」ます。
また一方で、独立変数xが-1のとき、従属変数yは1というふうに「1つだけ決まり」ます。
結果的に「2つの独立変数x=±1に対して従属変数y=1」になっています。
こういうのを「多対1対応」と言いますが、「独立変数Xの値が1つ決まれば、従属変数Yの値がただ1つ存在する」を満たしていますので、「多対1対応」は「関数」です。

次に、この2次関数のxとyを入れ替えて、y=f(x)の形を作ってみましょう。
すると、y=±√x になりますね。
このとき「1つの独立変数x=1に対して、2つの従属変数y=±1が存在する」となります。
こういうのを「1対多対応」と言いますが、「独立変数Xの値が1つ決まれば、従属変数Yの値がただ1つ存在する」を満たしていませんので、「多対1対応」は「関数」ではありません。

最後に円の方程式を考えて下さい。例えば、原点中心半径「ルート2」の円を考えましょう。
この方程式は、(xの2乗)+(yの2乗)=2ですので、これを「独立変数x、従属変数y」という発想で、y=f(x)という形にしてみます。
すると、y=±√2-(xの2乗) になりますね。
このとき「2つの独立変数x=±1に対して、2つの従属変数y=±1が存在する」となります。
こういうのを「多対多対応」と言いますが、「独立変数Xの値が1つ決まれば、従属変数Yの値がただ1つ存在する」を満たしていませんので、「多対多対応」は「関数」ではありません。

逆関数が存在するのは「1対1対応」のみ

以上のことから、逆関数が存在するのは「1対1対応」のみであることがわかりますよね?
つまりもとの関数が「単調増加」または「単調減少」でなければならないわけです。

4つの対応についてはなにも書いていない教科書でも、逆関数が存在するためには単調性が必要だ、ということは書いてあるんですよ。

実は、こうした意味だったんですねぇ~。

 

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