理系の積分体積計算に使えるパップスギュルダンの定理を紹介します❢

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ハクレンっていう魚がいるそうです。

コイ科ハクレン属に分類される中国原産の淡水魚です。

いわゆるレンギョの一種で、古くから中国で養蚕とリンクした養殖システムで食用とされてきた中国四大家魚のひとつでもあるそうです。(ウィキペディアより)

この魚の動画を見ていたら、ポケモンGo❢の「コイキング」を想起してしまいました。

最近コイキングを「ギャラドス」に進化させて悦に入っていたんで・・・。

あぁ、もうこりゃ完全に病気だな・・・。

でもまぁ、こうした「いろんな発想」が入試数学にも役立つんですよ、と無理矢理こじつけてみました。

~~~~~~

というわけで、今日は木曜日なので「理系への数学」について話します。

 

トーラス、っていう回転体

%e3%82%ad%e3%83%a3%e3%83%97%e3%83%81%e3%83%a3「トーラス」という立体の体積や表面積を求めてみましょう。

図のような形の立体をトーラスと言います。

さてこの立体、次のように「円を軸のまわりに回転」させれば出来てしまいます。

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この立体の体積を求める場合、軸からの最長距離と最短距離を考えます。

図で言えばPRとQRに着目して回転させ、半径PRの円の面積から半径QRの円の面積を引き、ドーナツの面積を出します。

それをαからβまで積分すればよいのです。

至って基礎的な問題で、別に難しくありません。

 

パップス・ギュルダンの定理

これを次のように求める方法があります。

%e3%82%ad%e3%83%a3%e3%83%97%e3%83%81%e3%83%a3軸から円の中心までのきょりをア、円の半径をイとします。

半径がアの円の面積は
(アの2乗)×π ・・・①
となります。

さて次に考えるのは、この円の「重心」です。

実は、
円の重心=円の中心
となるのです。

従って、重心が動いた長さは半径イの円周になりますね。

だからそれは、
2×イ×π ・・・②
になります。

ここでパップス・ギュルダンの定理というものを使います。

回転体の体積 = 回転させた図形の面積 × 重心が動いた長さ

これがパップス・ギュルダンの定理です。

よって①②より、面積は
2×(アの2乗)×イ×(πの2乗)
になります。

大学入試では・・・

先日「サイクロイドを y軸 まわりに回転させてできる体積を求めよ」という問題に出会いました。

%e3%82%ad%e3%83%a3%e3%83%97%e3%83%81%e3%83%a3こいつを y軸 まわりに回転させたときの体積・・・。

実は「立式そのもの」は簡単なんですが、計算が非常に煩雑。

ミスをせずに正解にたどり着くのが難しい問題ですから、立式が出来れば良しとすべきなのでしょう。

 

その時ふと思ったのです・・・

あ❢これはパップス・ギュルダンが使えるぞ❢ってね。

だって x座標での重心は対称軸上にあるから、重心の描く距離はすぐにわかります。

また、面積は通常の計算レベルでわりと簡単に求められます。

そういうわけでやってみましたら、見事にラクに体積を求めることが出来たのです。

 

これは使える定理ですので、是非とも身につけてほしいなぁ~って思います。

パップス・ギュルダン、続きまぁ~す❢

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